\subsection{排列}\label{subsec:2-2}

我们看下面的问题：

1. 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？

这个问题就是从北京、上海、广州三个民航站中， 每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，
求一共有多少种不同的排法。

首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有 $3$ 种方法；
其次确定终点站，当选定起点站以后，终点站就只能在其余的两个站中去选，因此，有 $2$ 种方法。
那么根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列的不同方法共有
$$ 3 \times 2 = 6 $$
种。也就是说，需要备如下 $6$ 种不同的飞机票：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds3-ch2-2-tickets}
\end{figure}


2. 由数字 $1,\, 2,\, 3,\, 4$ 可以组成多少个没有重复数字的三位数？

这个问题就是从 $1,\, 2,\, 3,\, 4$ 这四个数字中，每次取出三个，按照百位、十位、个位的顺序排列起来，求一共有多少种不同的排法。

第一步，先确定百位上的数字， 在 $1,\, 2,\, 3,\, 4$ 这四个数字中任取一个，有 $4$ 种方法；

第二步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中去取，有 $3$ 种方法；

第三步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有 $2$ 种方法。

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成一个三位数的方法共有
$$ 4 \times 3 \times 2 = 24 $$
种。也就是说，可以排成 $24$ 个不同的三位数。具体排法如下：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds3-ch2-2-numbers}
\end{figure}

我们把被取的对象（如上面问题中的民航站、数字）叫做\textbf{元素}。
上面第一个问题，就是从 $3$ 个不同的元素中，任取 $2$ 个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法；
    第二个问题，就是从 $4$ 个不同的元素中，任取 $3$ 个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法。

一般地说， 从 $n$ 个不同元素中，任取 $m \; (m \leqslant n)$ 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），
按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个\textbf{排列}。

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同。
如果所取的元素不完全相同，例如问题 1 中的飞机票“上海——北京”和“上海——广州”，它们就是两个不同的排列。
即使所取的元素完全相同，但排列顺序不同，也不是相同的排列。如问题 2 中的三位数“213”和“231”，
虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。

在实际问题中，有时需要写出某个排列问题的所有排列。例如，已知 $a,\, b,\, c,\, d$ 这 $4$ 个元素，
写出每次取 $3$ 个元素的所有排列，可以先列出下图（见图 \ref{fig:2-2}）：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds3-ch2-2-letters}
    \caption{}\label{fig:2-2}
\end{figure}

由此可以写出所有的排列：
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{*{4}{w{c}{3em}}}
        $abc$ & $bac$ & $cab$ & $dab$ \\
        $abd$ & $bad$ & $cad$ & $dac$ \\
        $acb$ & $bca$ & $cba$ & $dba$ \\
        $acd$ & $bcd$ & $cbd$ & $dbc$ \\
        $adb$ & $bda$ & $cda$ & $dca$ \\
        $adc$ & $bdc$ & $cdb$ & $dcb$
    \end{tabular}
\end{table}




